إقليدس

رسم تخيلي لإقليدس
أقدم مخطوطة لكتاب إقليدس العناصر باللغة اليونانية (حوالي 100 قبل الميلاد)، عثر عليها في منطقة البهنسا الأثرية
أقدم مخطوطة لكتاب إقليدس العناصر باللغة اليونانية (حوالي 100 قبل الميلاد)، عثر عليها في منطقة البهنسا الأثرية

أقليدس بن نوقطرس بن برنيقس الإسكندري[1] (إغريقية: Εὐκλείδης وتلفظ [e͜ʊkle:́dɛ:s]) ولد 300 قبل الميلاد، عالم رياضيات يوناني، بلقب ب‍‍أبي الهندسة. مشوار إقليدس العلمي كان في الإسكندرية في أيام حكم بطليموس الأول (323–283 قبل الميلاد). اشتهر إقليدس بكتابه العناصر وهو الكتاب الأكثر تأثيرا في تاريخ الرياضيات، وقد استخدم هذا الكتاب في تدريس الرياضيات (وخصوصا الهندسة) منذ بدايات نشره قديما حتى نهاية القرن ال19 وبداية القرن ال20.[2][3][4] بين ثنايا هذا الكتاب مبادئ ما يعرف اليوم باسم الهندسة الإقليدية والذي تتكون من مجموعة من البديهيات. أنشئ إقليدس بعض المصنفات أيضا في حقول عديدة؛ كالمنظور، القطع المخروطي، الهندسة الكروية، ونظرية الأعداد وغيرها.

الاسم إقليدس هو تعريب للفظ اليوناني Εὐκλείδης، والتي تعني “المجد الحسن”.

على الرغم من أن استنتاجات كتاب العناصر قد تم التوصل إليها على يد علماء الرياضيات القدامى، ألا أن إنجاز إقليدس هو ضم جميع هذه الاستنتاجات في عمل مفرد، في إطار متماسك منطقيا، مما يجعله سهل للاستعمال وسهل للمرجعية، بما في ذلك نظام صارم من البراهين الرياضياتية التي لا تزال قاعدة أساسية للرياضيات خلال 23 قرنا.[11]

ليس هناك أي ذكر لإقليدس في النسخ الأقدم للكتاب، وأغلب النسخ مكتوب عليها “من إصدار ثيون” أو “محاضرات ثيون”،[12] بينما النسخة التي تصنف كالأولى، والموجودة في الفاتيكان، لا تذكر اسم أي مؤلف. والمرجع الوحيد الذي يخبرنا بأن إقليدس هو مؤلف العناصر هو بروكلس وكتابه المرجع الذي يستند إليه المؤرخون في تحديد المؤلف، مؤلفه التعقيب على العناصر الذي يذكر فيه إقليدس كمؤلف للكتاب.

على الرغم من شهرة الكتاب في مجال الهندسة الرياضية، فالكتاب أيضا يتحدث عن نظرية الأعداد. وهو يضع بعين الاعتبار العلاقة بين الأعداد المثالية وأعداد ميرسين، واللاتناهي في الأعداد الأولية، وكما أن فيه خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر من رقمين.

النظام الهندسي الموصوف في كتاب العناصر عرف قديما باسم الهندسة، ولقد اعتبرت هي الهندسة الوحيدة الممكنة. أما اليوم، فهي تسمى باسم الهندسة الإقليدية لفصلها عن الفرع المسمى بالهندسة الا إقليدية التي اكتشفها علماء الرياضيات في القرن الـ.19

كتاب العناصر هو عمل هائل جمع المعلومات الهندسية الموجودة في زمانه بين ضفتى كتاب مع تقديم البراهين عليها. وحاول اقليدس ان يكون متجردا و موضوعيا فافرد في مقدمة كتابه المبادئ الاساسية اللتى تقوم عليها هندسته. واستطاع ان يحدد 33 نقطة هى حروف الهجاء اللتى تقوم عليها لغة الرياضيات كلها. فقد حدد اقليدس اول 23 تعريف definitions للمفاهيم الأساسية اللتى تتعامل معها هندسته. ثم قدم 5 بديهيات axioms و 5 مسلمات postulates.

اما بالنسبة للغة اقليدس فينبغى ان نلاحظ ان مصطلح خط لا يعنى خطا مستقيما بالضرورة فالخط قد يكون منحنى او قد يكون مستقيم. و اذا أردنا الاشارة إلى خط مستقيم فلا بد و ان نستخدم صفة الاستقامة. وكذلك الحالة بالنسبة للاسطح فالسطح هو شكل ثنائى الابعاد ولكنه كد يكون مستوى أو منحنى فاذا اردناه مستويا لابد ان نستخدم كلمة مستوي. وكذلك يجب ان ننتبه ان اقليدس عندما كان يذكر خطا مستقيما كان يعنى قطعة مستقيمة محدودة الطول . على العكس العرف الرياضي السارى اليوم ان الخط المستقيم ممتد لانهائى لا نهاية له. وكذلك الحال بالنسبة للسطح فاجسام اقليدس لم تعرف اللانهاية.

اما البديهيات axioms فهى اشياء صحيحة بالبديهة و نقوم بالتسليم بصحتها كما هي بدون نقاش. اما المسلمات postulates فهى أيضا اشياء نسلم بصحتها بالسليقة بدون اقامة البرهان على صحتها. والفارق بين المسلمات و البديهيات ان الشكوك اللتى قد تحوم حول المسلمات مبررة اكثر من اللتى قد تقوم حول البديهيات. بمعنى ان التشكيك في البديهيات أصعب من التشكيك في المسلمات.

تعريفات اقليدس definitions نسردها فيما يلي:

1 النقطة هى مالا جزء له.
2 الخط هو طول بلا عرض
3 نهايتا الخط هما نقطتان
4 المستقيم هو خط يتطابق مع مع استواء النقاط اللتى تقع فوقه
5 السطح هو ماله طول وعرض فقط
6 حواف السطح هى دائما خطوط
7 المستوى هو سطح يتطابق مع استواء الخطوط المستقيمة اللتى تقع فوقه
8 الزاوية المستوية هى الميل بين خطين يلتقيان في مستوى ولا يواصلان امتدادهما
9 اذا كان خطا الزاوية مستقيمين سميت الزاوية مستقيمة الخطوط rectilinear
10 اذا قابل مستقيم اخر وبحيث صنع زاويتين متجاورتين متساويتين سميت الزاويتان قائمتين. و سمى المستقيم عمودي على الأخر
11 الزاوية المنفرجة أكبر من القائمة
12 الزاوية الحادة اصغر من القائمة
13 الحد هو ذلك حيث ينتهى شئ
14 الشكل هو ذلك المحصور بين حدوده
15 الدائرة هي شكل مستوى. حدها خط. وبحيث تكون المسافة بين نقطة ما داخل الدائرة وأى نقطة على الحد متساوية
16 مركز الدائرة هو النقطة في منتصف الدائرة السابق ذكرها
17 قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تمر بمركز الدائرة وينهى طرفاها على محيط الدائرة ويقسم القطر الدائرة إلى نصفين متساويين
18 نصف الدائرة هى الشكل المحصور بين قطر الدائرة و قوس الدائرة المقطوع بواسطة هذا القطر
19 متعدد الأضلاع هو الشكل اللذى حدوده خطوط مستقيمة فثلاثى الأضلاع يتكون من 3 اضلاع و رباعى الأضلاع يتكون من 4 اضلاع ومتعدد الاضلاع يتكون من عدد غير معين من الأضلاع
20 بالنسبة لثلاثى الاضلاع يسمى مثلث متساوى الاضلاع اذا كان طول كل اضلاعه متساوي ويسمى متساوى الساقين اذا كان ضلعان منه فقط متساويان ويسمى غير متساوى الاضلاع اذا كانت كل اضلاعه مختلفة في الطول
21 بالنسبة لثلاثى الاضلاع يسمى مثلث قائم اذا كانت احدى زاوياه قائمة ويسمى مثلث منفرج اذا كانت احدى زاوياه منفرجة ويسمى مثلث حاد اذا كانت كل زاوياه حادة.
22 بالنسبة لرباعى الاضلاع يسمى مربع اذا كانت كانت كل اضلاعه متساوية وكل زواياه قائمة ويسمى مستطيل اذا كانت كل زاوياه قائمة ولكن ليست كل اضلاعه متساوية ويسمى معين اذا كانت كل اضلاعه متساوية ولكن زواياه ليست قائمة ويمسى متوازي اضلاع اذا كان كل ضلعان متقابلان متساويين وكانت كل زاويتان متقابلتان متساويتين. اما باقى الاشكال الأخرى تسمى منحرفة.
23 المتوازيان هما مستقيمان يقعان في نفس المستوى ومهما مدناهما من كلا طرفيهام فهما لا يلتقيان.

اما البديهيات الخمسة axioms فهى:

1 الأشياء المساوية لغيرها متساوية فيما بينها
2 اذا اضفنا كميات متساوية إلى اخرى متساوية تكون النتيجة متساوية
3 اذا طرحنا كميات متساوية من اخرى متساوية تكون النتيجة متساوية
4 الأشياء المتطابقة متساوية
5 الكل أكبر من الجزء

اما المسلمات الخمسة postulates فهى:

1 بين كل نقطتين مختلفتين يمكننا توصيل خط مستقيم -وحيد-
2 يمكننا مد اى قطعة مستقيمة من كلا طرفيها إلى مالا نهاية
3 يمكننا رسم اى دائرة اذا علمنا مركزها ونصف قطرها
4 جميع الزوايا القائمة متساوية
5 اذا قطع مستقيمان ثالث وبحيث يكون مجموع الزاويتين الداخليتين وعلى جهة واحدة من القتقاطع اقل من قائمتين. فان المستقيمان سوف يلتقيان اذا مددناهما على نفس هذه الجهة.